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--- statistik:geometrische_sicht [2012/08/19 22:29] – phreazer
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 Im bivariaten Fall stimmt R mit r überein (da $\hat{y}$ auf $x$ liegt).
-R^2 drückt den Anteil der erklärten Varianz aus.
+$R^2$ drückt den Anteil der erklärten Varianz aus.
 $|y|^2 = |\hat{y}|^2 - |e|^2$ oder
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 Durch das Lösen der Normalengleichung erhält man $b_1, b_2$.
+====== Principal Component Analysis ======
+Motivation: Reduktion der Datendimensionalität
+  * Reduktion Berechnungskomplexität (Analyse in DW)
+  * Festplatten und Arbeitsspeicherreduktion
+  * Reduktion von Rauschen, irrelevanten Features
+  * Einfachere Visualisierung
+  * Fluch der Dimensionalität vermeiden
+Ziel der PCA ist es eine Projektion zu finden, die den größten Teil der Datenvariabilität beschreibt, sodass die ursprünglichen Daten mit so wenigen Daten wie möglich beschrieben werden können.
+Die Eigenvektoren der Kovarianzmatrix bilden die Basis des neuen Raums.
+Herleitung: Für zentrierte Variablen bedeutet Information Variabilität, d.h. die Summe der Fehlerquadrate für alle Beobachtungen $SS(X_j) = \sum_{i=1}^n x_{ij}^2$.
+Zentrieren und standardisieren von $e = \frac{e}{|e|}$ und $x_j = \frac{x_j}{|x_j|}$
+$\hat{x}_j$ ist Prädiktorvektor auf e
+$\frac{|\hat{x}_j|}{|x_j|} = \cos(e, x_j) = R(e,x_j) = e^\intercal x_j$
+(da standardisiert)
+Um $R^2(e,x) = SS_{reg}(e,x)$ zu bekommen:
+Quadriert: SS_{reg} = $e^\intercal x x^\intercal e$
+Nach Standardisierung mit den Anzahl der Variablen m, erhält man die durchschnittliche Summe der Fehlerquadrate pro Variable.
+Standardisierung mit m: $\frac{e^\intercal x x^\intercal e}{m}$ wobei $C= \frac{x x^\intercal}{m}$ die Kovarianzmatrix der beobachteten Vektoren ist.
+Gesucht ist ein Maximum $\lambda = e^\intercal C e$.
+$$\lambda = e^\intercal C e \\
+\iff e \lambda = C e \\
+\iff (C-\lambda I) e = 0
+$$
+Eigenwertproblem, f.d. zur Lösung gelten muss $det(C-\lambda I) = 0$,
+wobei $e$ Eigenvektor von $X X^\intercal$ mit Eigenwert $\lambda$.
+Eigenvektoren der Kovarianzmatrix sind orthogonal und greifen disjunkte Teile der Varianz von X' ab. Man erhält eine neue orthogonale Basis. Achsen können absteigend nach der Größe ihrer Eigenwerte sortiert werden, wobei $\lambda_1 = max\{\lambda_i\}$ mit Eigenvektor $e_1$ die erste neue Achse ist.
+Z als Repräsentation von X in neuem Raum: $Z=XE$ und $X=ZE^\intercal$ (da für orthogonale Matrizen gilt $A A^\intercal= I$).
+====== Singular Value Decomposition (SVD) ======
+Reduktion der Variablendimensionalität durch kompakte Basis für den Zeilenraum von X' mit den Eigenvektoren von $X X^\intercal$
+Reduktion der Objektdimensionalität durch Schätzung des Spaltenraums von X' mit den Eigenvektoren  von $X^\intercal X$.
+SVD: $X = U \sigma V$ wobei
+U Eigenvektoren von  $X X^\intercal$, $\sigma$ Quadratwurzel der Eigenwerte und V Eigenvektoren von $X^\intercal X$.