====== Aggregationsfunktionen ======
===== distributiv =====
Es gibt eine Funktion G, so dass

$$F(\{X_{i,j}\}) = G(\{F(\{X_{i,j} | i=1, \dots, I\}) | j=1, \dots, J\})$$

Beispiel:
  - min()
  - max()
  - count()

Angewandt für count:
$${COUNT}(\{X_{i,j}\}) = SUM(\{COUNT(\{X_{i,j} | i=1, \dots, I\}) | j=1, \dots, J\})$$

$X_{0,0} = 1; X_{1,0} = 2; X_{2,0} = 3;$
$X_{0,1} = 4; X_{1,1} = 5; X_{2,1} = 6;$

===== algebraisch =====
Es gibt eine Funktion G, die M-Tupel liefert und H, so dass

$$F(\{X_{i,j}\}) = H(\{G(\{X_{i,j} | i=1, \dots, I\}) | j=1, \dots, J\})$$

M ist apriori bekannt, ebenso der Typ der Tupel.

Bsp.: 
  -Durchschnitt 
  -Truncated Average 
  -Standardabweichung 
  -Top-N

Bsp.: Durchschnitt: 

G: (Summe, Count)
H: (Gesamtsumme, Gesamtcount)

Bsp.: Truncated Average:
G: (Summe, Count, Min, Max)

Bsp.: Standardabweichung:

Unkorrigierte Standardabweichung:

G: (Summe, Summe der Quadrate, Count)
===== holistisch =====
Es kann keine Beschränkung des Speicherbedarfs für Sub-Aggregate d.h. für Aggregate über 
$$\{X_{i,j} | i=1, \dots, I\}$$
angegeben werden / Größe des Zwischenergebnisses ist nicht beschränkt.

Beispiele
  - Median()
  - HäufigsterWert()
  - TruncatedAverage() (dynamisch)

===== Self-maintainable =====
Wenn nach Änderung der neue Wert der Aggregationsfunktion aus dem alten Wert und den Änderungen berechnet werden kann.

Algebraische und holistische Aggregationsfunktionen sind nicht self-maintainable.

Bsp.:
  - Count() self-maint. bzgl. Einfügen, Löschen
  - Min() self-maint. bzgl. Einfügen
  - Avg() ist nicht self-maint.