====== Thurstone‘s „Law of Comparative Judgment“ ======
===== Notation =====

  * $U_{ik} = V_{ik} + e_{ik}$: Nutzen für Alternative i des Konsumenten k
    * Möglichkeit, dass Alternative mit geringererm wahren Nutzen gewählt wird
    * Abhängig von Messfehler $e_{ik}$ und wahrer Nutzendifferenz $(V_{ik}-V_{jk})$ zur besseren Alternative
  * $e_{ik}$: Messfehler des Nutzens
    * Verzerrung durch Konsumenten (z.B. Beschaffungskosten Information)
    * Beobachtern der Kaufentscheidung (Teil des nutzen basiert auf unsichtbaren psychologischen Prozessen)
  * $V_{ik} = V(z_{ik}, s_k)$: Wahrer Nutzen V für Alternative i des Konsumenten k
  * $z_{ik}$: Beschaffenheit der Alternative
  * $s_k$: Konsumenteneigenschaften

Nutzenmaximierendes Verhalten der Konsumenten:
  * Entscheidungsregel: Wähle Alternative i, wenn und nur wenn $U_{ik} > U_{jk}$

===== Law of Comparative Judgment =====

==== Annahmen ====
  * Messfehler $e_{ik}$ ist unabhängig und normalverteilt

==== Verteilung der Präferenzurteile ====

  * Präferenz für Alternative abhängig von $P(U_{ik} > U_{jk})$
  * Wahrscheinlichkeit der Präferenz von i gegenüber j:
    * $P_{[i,j]} = \Phi{\Big(\frac{V_{ik} - V_{jk}}{\sqrt{\sigma_i^2 + \sigma_j^2}}\Big)}$
  * $\Phi$: Fläche unter Standardnormalverteilungskurve links von Klammerausdruck
  * $\sigma_i$: Standardabweichung des Messfehlers $e_i$

=== Beispiel ===
  * Standardnormalverteilter Zufallsfehler ($\mu = 0, \sigma = 1$)
  * $V_{ik} = 1$, $V_{jk} = 2$
  * $P_{[i,j]} = \Phi{(\frac{-1}{\sqrt{2}})} = \Phi{(-0,7071)}$
    * Symmetrie der Standardnormalverteilung: $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$
    * $\Phi{(-0,7071)} = 1 - \Phi{(0,7071)} \approx 1 - 0,75804 \approx 0,24$

<WRAP center round todo 60%>
Genaue Wahl des Wertes der Verteilungsfkt.
</WRAP>

===== Zentrale Annahmen fortgeschrittener Modelle (als Thurstone) =====
==== Extremwertverteilung der Messfehler ====
Anstelle Normalverteilung des Messfehlers wird **Typ I-Extremwertverteilung** angenommen
  * Ähnlich zu Normalverteilung, leicht Rechtsschief
  * Standardfall: $\mu = 0, \sigma=\sqrt{\frac{\pi^2}{6}}$

Verwendung Normalverteilung => Probit-Modell

==== Unabhängigkeit der Messfehler ====

  * Annahme bereits bei Thurstone
  * Interpretation: Falsche Wahrnehmung des wahren Nutzens der Alternativen ist durch **mangelnde Präzision** bedingt
  * Systematische verzerrte Wahrnehmungen unproblematisch, wenn lediglich Niveauverschiebungen
  * Modelle mit zusammenhängenden Messfehler sind möglich: Probit-/Simulationsmodelle
==== Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen ====

IIA: Independence from irrelevant alternatives

Vergleich zwischen zwei Alternative sollte nicht von Anwesenheit einer dritten Alternative beeinflusst werden.

Modellierungsvorschlag Luce:

  * $\frac{P_{[i,j]}(i)}{P_{[i,j]}(j)} = \frac{P_{[i,j,n]}(i)}{P_{[i,j,n]}(j)}$, ohne das gelten muss $P_{[i,j]}(i) = P_{[i,j,n]}(i)$
  * Verhältnis der Kaufwahrscheinlichkeiten bleibt gleich, aber die Kaufwahrscheinlichkeit kann sich verändern, wenn es eine weitere Alternative gibt

  * Empriische Haltbarkeit zweifelhaft => Alternative Modelle