====== Metrik ======
Distanz d(i,j) ist eine Metrik wenn gilt: 

  * Positiv definit: $d(i,j) > 0$ wenn $i \neq j$ und $d(i,i) = 0$
  * Symmetrisch: $d(i,j) = d(j,i)$
  * Dreiecksungleichung: $d(i,j) \leq d(i,k) + d(k,j)$

====== Minkowski Distanz ======
$$d(i,j) = \sqrt[p]{|x_{i1}-x_{j1}|^p + \dots + |x_{in}-x_{jn}|^p} = \sqrt[p]{\sum_{k=1}^n  |x_{ik}-x_{jk}|^p}$$

  * p=1: Manhattan Distanz (City Block, L1 Norm, Hammingdistanz (Anzahl verschiedener Bits in 2 Vektoren))
  * p=2: Euklidische Distanz (L2 Norm)
  * $p \rightarrow \infty$: Supremum Distanz (LMax, LInf Norm)

====== Disimilarity Matrix ======

Dreiecksmatrix

$$\begin{pmatrix} 
0 & 0 & 0 \\ 
d(2,1) & 0 & 0 \\ 
d(3,1) & d(3,2) & 0  
\end{pmatrix}$$

====== Ähnlichkeit ======
===== Nominale Variablen  =====

  - Einfaches Matching: $d(i,k) = \frac{m-p}{m}$ mit Anzahl der Variablen m und Anzahl der Matches p.
  - Binäre Attribute für jeden nominalen Zustand

===== Binäre Attribute  =====

Kontingenztabelle

^     Objekt j              ^^^^^
^ Objekt i    |  | 1 | 0 | Summe |
^ :::    | 1 | q | r | q+r |
^ :::    | 0 | s | t | s+t |
^ :::    | Summe | q+s | r+t | p |

  * Symmetrische binäre Variablen: $d(i,j) = \frac{r+s}{q+r+s+t}$
  * Asymmetrische binäre Variablen: $d(i,j) = \frac{r+s}{q+r+s}$
  * Jaccard Koeefizient (Ähnlichkeitsmaß für asymmetrische binäre Variablen) - Kohärenz: $d(i,j) = \frac{q}{q+r+s}$

===== Ordinale Variablen  =====
Behandeln wie intervallskalierte Variablen, d.h. Bereich jeder Variablen auf [0,1] mappen
===== Kosinusähnlichkeit  =====
Korrelation zwischen Objekten (nicht Variablen) bei quantitativen und ordinalen Variablen