p(B) gegeben R, F, G, C

Kaufwahrscheinlichkeit P(B)

Bedingte Wahrscheinlichkeit gesucht P(B|R,F,G,C)

Probleme:

• 2^x bedingte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen
• unzureichende Historie, da manche Fälle nicht auftreten

Datensatz:

• n: Einträge
• R=y für r Fälle
• B=y für k Fälle
• R=y und B=y für i Fälle

• $p(B|R) = i/r$
• $p(R) = r/n$
• $p(R und B) = i/n = (i/r) * (r/n)$
• $p(B,R) = p(B|R) p(R)$

Bayes Rule: $P(B,R) = P(B|R) P(R) = P(R|B) P(B)$

Bayes Theorem: $P(B|R) = \frac{P(B,R)}{P(R)} = \frac{P(R|B)P(B)}{P(R)}$

A-Priori-Wkeit: $P(B)$ Likelihood: $P(R|B)$ A-Posterior-Wkeit: $P(B|R)$

Question 1: If a person has malaria (mp), there is 90% chance that the blood test for malarial parasite comes up positive (tp); however, 1% of the time the test gives a false positive (tp and mn). Also, there is a 1% chance of getting malaria in general (mp).

Unfortunately, you happen to test positive. What is the chance of your having malaria?

Geg.:

• $P(tp | mp) = 0,9$
• $P(tp | mn) = 0,01$
• $P(mp) = 0,01$

Gesucht: $P(mp|tp) = \frac{P(tp|mp) * P(mp)}{P(tp)} = \frac{0,9 * 0,01}{0,9*0,01+0,01*(1-0,01)} = 0,476$

Question 2: Now suppose your doctor had employed a far superior, more expensive test, one with only a .1% chance of a false positive. (Other parameters are the same - 90% chance of a true positive, 1% chance of malaria in general.)

What is the chance that you have malaria if you test positive with this improved procedure?

• $P(tp | mp) = 0,9$
• $P(tp | mn) = 0,001$
• $P(mp) = 0,01$

Gesucht: $P(mp|tp) = \frac{P(tp|mp) * P(mp)}{P(tp)} = \frac{0,9 * 0,01}{0,9*0,01+0,001*(1-0,01)} = 0,901$

Angenommen B und R sind voneinander unabhängig.

P(R) = r/n, P(C)= c/n P(R|C) = i/c, P(C|R) = i/r

R und B sind voneinander unabhängig wenn und nur wenn i/c = r/n; i/r = c/n

P(R|B) = P(R); P(B|R) = P(B)

Naiv wegen Annahme: R und C sind unabhängig gegeben B

$$ P(B|R,C) * P(R,C) = P(R,C|B) * P(B)\\ = P(R|C,B) * P(C|B) * P(B) (Bayes Rule)\\ = P(R|C) * P(C|B) * P(B) (Unabhängigkeit) $$

Verhältnis berechnen: $$ \frac{p(r|B=y) * p(c|B=y) * p(B=y)}{p(r|B=n) * p(c|B=n) * p(B=n)} $$

B=y, wenn $>\alpha$ (z.B. 1), sonst B=n

$$ L = \prod_{i=1}^N \frac{p(x_i|B=y)}{p(x_i|B=n)} * \frac{p(B=y)}{p(B=n)} $$ B=y, wenn $>\alpha$ (z.B. 1), sonst B=n

log-likelihood ⇒ Anstelle von Multiplikation zu Addition um Rundungsfehler zu vermeiden

p(+),p(-), p(like|+), p(enjoy|+), p(hate|+), … P(hate|-), p(enjoy|-), p(lot|-), …

Im Text: like, simple, lot

$$ L = \frac{p(like|+)p(lot|+)[1-p(hate|+)][1-p(waste|+)]p(simple|+)}{p(like|-)p(lot|-)[1-p(hate|-)][1-p(waste|-)]p(simple|-)} * \frac{p(+)}{p(-)} $$