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--- data_mining:regression [2014/07/13 02:56] – [Learning rate $\alpha$] phreazer
+++ data_mining:regression [2014/07/13 03:37] – [Normalengleichungen] phreazer
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 $\theta_j := \theta_j - alpha \frac{\partial}{\partial\theta_j} J(\theta)$
+==== Normalengleichungen ====
+  * Feature-/Designmatrix X (Dim: m x (n+1))
+  * Vector y (Dim: m)
+$\theta = (X^TX)^{-1}X^Ty$
+  * Feature scaling nicht notwendig.
+Was wenn $X^TX$ singulär (nicht invertierbar)?
+(pinv in Octave)
+**Gründe für Singularität:**
+  * Redundante Features (lineare Abhängigkeit)
+  * Zu viele Features (z.B. $m <= n$)
+    * Lösung: Features weglassen oder regularisieren
+**Wann was benutzten?**
+  * m training tupel, n features
+  * GD funktioniert bei großem n (> 1000) gut, Normalengleichung muss (n x n) Matrix invertieren, liegt ungefähr in $O(n^3)$.
 ===== Gradient Descent Improvements =====
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 ==== Learning rate $\alpha$ ====
-$J(\theta)$ sollte nach jeder Iteration kleiner sinken (Plot J/#Iterations).
+  * $J(\theta)$ sollte nach jeder Iteration kleiner werden(Plot J/#Iterations).
+    * Alternativ: Konvergenz erklären, wenn Änderungen kleiner $\epsilon$.
+  * Falls $J(\theta)$ ansteigt, überschreitet GD vermutlich Minimum, d.h. kleineres $\alpha$ verwenden.
+  * Wenn $\alpha$ zu klein: Langsame Konvergenz
+  * Wenn $\alpha$ zu groß: $J(\theta)$ sinkt nicht bei jeder Iteration und konvergiert evtl. nicht.
+  * Schema: 0,001 -> 0,003 -> 0,01 -> 0,03 -> 0,1 -> ...
+===== Polynomial regression =====
+$\theta_0 + \theta_1 x + \theta_2 x^2 + \theta_3 x^3$
+Durch entsprechende Features möglich:
+$x_3 = (size)^3$
+Feature scaling wird dann wichtig (da groß und verschieden)
+Oder Wurzelfkt.:
+$\theta_0 + \theta_1 x + \theta_2 \sqrt{x}$