Multivariate Verteilung

Wahrscheinlichkeitsverteilung einer mehrdimensionalen Zufallsvariablen.

Z = (X,Y)

$$F_Z(x,y) = P(X\leq x, Y\leq y)$$

Im stetigen Fall ergibt sich die Verteilungsfunktion

$$F_Z(x,y) = \int_{-\infty}^y \int_{-\infty}^x f_{X,Y}(u,v) du dv$$ mit der zweidimensionalen Dichte: $$f_{X,Y} (x,y) = f_{Y|X}(y|x) f_X(x) = f_{X|y}(x|y) f_Y(y)$$

$f_{Y|X}(y|x)$ ist die bedingte Dichte (Conditional probability) Y unter X=x $f_X(x)$ ist die Dichte der Randverteilung (Marginal distribution) von X

Im diskreten Fall ergibt sich die gemeinsame Verteilung (joint probability distribution) durch bedingte Wahrscheinlichkeiten:

$P(X = x \land Y = y) = P(Y = y | X = x) P(X = x) = P(X = x | Y = y) P(Y = y)$