====== Faktorenanalyse ======
===== Exploratorische Faktorenanalyse =====
==== Vorgehen ====
  - Aufstellen einer Kovarianzmatrix
  - Faktorextraktion
  - Bestimmung der Faktorenzahl
  - Faktorrotation
  - Interpretation der Faktoren
===== Konformatorische Faktorenanalyse =====

Ziel: Prüfung ob unterstellte Faktorstruktur Daten angemessen wiederspiegeln.

Grundprinzip: Kovarianzstrukturanalyse der Indikatoren

Annahmen im Vorfeld:

  *  #Faktoren
  *  Zuordnung der Variablen zu Faktoren

==== Vorgehen ====

  - Modellspezifikation
  - Parameterschätzung
  - Modellbeurteilung
  - Gegebenfalls Modellmodifikation (Rückschritt zu 2)
  - Ergebnisinterpretation


=== 1. Modellspezifikation ===

  * $x_i$: Indikatorvariablen
  * $\delta_i$: Messfehlervariablen
  * $\lambda_{ij}$: Faktorladungen
  * $\xi_j$: Latente Variablen
  * $\Phi_{jk}$: Kovarianz zwischen latenten Variablen

$X = \Lambda \xi + \delta$

Indikatorvektor = Faktorladungsvektor * Vektor latenter Variablen + Messfehlervektor

=== 2. Parameterschätzung ===

Schätzung von
  * Faktorladungsmatrix $\Lambda$
  * Kovarianzmatrix der Faktoren $\Phi$
  * Kovarianzmatrix der Fehler $\Theta_\delta$

Fehlen systematischer Messfehler.

Datengrundlage ist Kovarianzmatrix S der Indikatoren:

$S = \begin{pmatrix}VAR(x_1) &  & \\COV(x_2,x_1) & VAR(x_2) & \\COV(x_3,x_1) & COV(x_3,x_2) & VAR(x_3)\end{pmatrix}$

Aus den zu schätzenden Modellparameter ergibt sich die implizierte Kovarianzmatrix $\Sigma(\theta)$, da bestimmte Modellparameter bestimmte Kovarianzen implizieren.

Die Parameterschätzung mit einer Diskrepanzfunktion erfolgt so, dass $\Sigma(\theta) - S$ minimiert wird.